書籍の紹介について

English to follow: 皆さんこんにちは。順天堂大学健康データサイエンス学部で、脳神経ダイナミクス研究室を主宰している徳田です。

最近、「研究室に入る前にどんな勉強しておいたらよいですか？読んでおいたらよい本ありますか？」

という質問を受けることが非常に多くなってきました。

そんなん自分が読みたい本読んでおけや。自分に合う本を探すのも勉強うちだろ。

と思ったりもします。なぜかというと。。。

私もまだ大学生になりたての頃は、大学の講義で指定された教科書などをとにかく買い求めて読んだりしましたが、全然わからない、ということがよくありました。これは全く自分の頭が悪いせいだな、などと思いました。しかし何年か経って、非常にわかりやすく説明されている数学の本があることに感動することもありました。そんなときは、どうしてこういうふうにわかりやすく書かないんだろう、数学の本というのも、わかりやすく書かれている良い本と、そうでないものがあるんだな、と思ったりもしたのです。ところが、さらに何年も経って私がもう30代の後半になった頃、また考えを改めることがありました。知り合いの線形代数の専門家に「線形代数の本のおすすめって何ですか」と聞いてみたところ、私が最もわかりにくいと思った本を一番のおすすめとして挙げられたのです。つまり、良い教科書というのは、人によって全然違うということがわかったのです。

数学というのは、様々な側面を持つものであると思います。例えば、同じ理論が幾何学的なイメージを与えることもあるし、より代数的・演算的なイメージを与えることもある。あるいは、その中に流れる論理構成、論理の展開の流れに意識を向けることもある。また、違った面が浮かび上がってくる、感じられるということもあるかもしれません。

私は数学の専門家というわけではなく、下手の横好きでやっているだけの人間ですが、ある一つのテーマ、例えば線形代数のような大学1年生で習う基礎中の基礎であっても、その理論の導入の仕方やどのようなイメージを記述するのか、あるいは記述しないのかといったことに関して、実に様々なアプローチがあり得るということが分かりました。

純粋な本物の数学者たちは、簡潔で過不足なく、できるだけ短く記述を行うことを好む傾向があるようです。数学者の美学というのでしょうか。一方で、私のように俗っぽく応用に用いている人間からすると、様々なイメージ、特に私は図形的なイメージが理解しやすいのですが、そういったものをたくさん説明される方が分かりやすいのです。

何を言いたいかというと、まず良い本を見つけるということはそんなに簡単ではないこと。そしてもう一つは、自分にとって分かりやすい本というものは他の人とは違うということです。つまり、自分に合った良い本を探すということはとても大事なのです。

しかし一方で、人に本を勧められてとてもよかったこともありました。

一つ思い出すことがありました。私が初めて大学の研究室に所属した時、私を直接指導してくれた、川原茂敬先生は、各学生と面談をとりあえず面談をします、とおっしゃって、一人ずつ部屋に呼び出して、話をされたのです。私は川原先生との面談で、最初に

「君は何に興味があるの？」

と聞かれたのを覚えています。その時私は、拙いその当時の私の知識と考察から絞り出したこととして、

いかにして、物理的な法則に従って動くモノである部品が集まって、それが生き生きとした生命体になるのか、いかにしてモノの集まりに命が宿るのかに興味があります。どうしてタンパク質や代謝物のような小さな物質が集まると、一つの生き生きとした、命を宿したモノになるのでしょうか？

と言いました。そうすると、川原先生はたちどころに、

きみは自己組織化とかに興味があるんだな。

と言いました。そして、私がその「自己組織化」という言葉を知らないし聞いたこともないというと、半分呆れた顔になり、

そうしてそういうことに興味があるって言ってるのに、こういうことに関する本を読んだりしてきてないの？？

という趣旨のことを言いました。今から思うと、全くその通りで、研究者を志すものとしての態度として、確かにしょうもなかったなと思います。そのあと川原先生は、「これでも読んだら？」と手元のハーマン・ハーケンの本をおもむろに取り出し、私に渡して、勧めてくれたのです。

自然の造形と社会の秩序 単行本 – 1985/3/1 H.ハーケン (著), 高木 隆司 (翻訳)

この本は実に私の生まれた直後に翻訳された、当時としてもだいぶ古い本でしたが、私は今もこの本を読んだ時の感動を忘れません。

当時、私がいた薬学部では、「いかにして、物理的な法則に従って動くモノである部品が集まって、それが生き生きとした生命体になるのか、いかにしてモノの集まりに命が宿るのかに興味があります」と言ったときに、間髪入れずにハーケンの思想を教えてくれるような先生は他にはいなかったではないかなと思ったりもします。つまり、あれは私にとってまさに本当に、今から思えば幸運なことだったのです。

さて、ハーケンがその哲学の中心に据えた、隷属原理というのは、ミクロとマクロの間の相互作用に関する一つの見方であります。ミクロな速い要素の動きが集まり、マクロな動きを作り出すけど、そのマクロなダイナミクスがさらにミクロなダイナミクスの動く法則を支配するという、お互いがお互いに影響を与えて全体の動きが決まるという複雑な関係が存在します。しかし、少数のマクロな遅いダイナミクスが全体の動きを規定するという理論になっています。ハーケンの本を読むと、非常に哲学的で、深遠なことを語っているような気もしてきますが、数学的には何のことはない、安定固定点の周りのダイナミクスの線形近似をしたときに、その固有値のスペクトル見れば、ゆっくりと動く方向と早く緩和する方向があり、ダイナミクスはすぐに中立安定方向の多様体上のダイナミクスで近似される、ということを言っているに過ぎません。これは今からみると、あまりに当たり前のことを言っているだけにも見えますが、、、ハーケンが言っていたことの本質は、固定点周りの固有値のスペクトルという狭い観点から解釈されるべきではなく、むしろ、散逸系である多くの複雑系において、系の低次元な振る舞いが生まれるということが、我々が複雑な世界の中に何らかの秩序を見出すという事実を成り立たる、普遍的な自然界の原理である、ということではないでしょうか。すなわち、この世界には論理の階層性がある、階層観の因果関係の分離がありうる、ということです。

このことは現在流行っている機械学習やAIの動作原理とも関係しています。Yoshua Bengioなどが、representation learningとか、多様体仮説といった話を昔からしていましたが、現在の深層学習などの機械学習がうまく動くことを保証するのは、データ空間中でデータが分布する空間の実効的な次元が低くなっていることであると考えられます。これはハーケンのいうような低次元化・自己組織化というものは、深いところで結びついていると思われます。

また、このことは、そもそもこの地球上になぜ知的な情報処理を行う生物がいるのか、という問題とも関係します。大野 克嗣氏は著書「非線形な世界」のなかで、そもそも進化の過程で、動物が脳を持つようになり、身の回りの世界の事象に関する時間的な予測を行うようになったのは、対象物を構成する個々の分子の動きを知らなくても、対象物の動きに対する予測が可能である、という事実が存在するからである、ということを書かれています。つまり、この世界には論理の階層性があり、分子のスケールに比べれば圧倒的にマクロなレベルで、観測・推定・予測といったことが閉じるということです。このことはある意味驚くべきことですね。

Hello everyone. My name is Tokuda, and I lead the Neurodynamics Laboratory in the Faculty of Health Data Science at Juntendo University.

Recently, I have been receiving more and more questions such as:

“What should I study before joining the laboratory? Are there any books I should read in advance?”

To be honest, part of me thinks:

“Just read whatever you want. Searching for books that suit you is itself part of the learning process.”

And there is a reason I feel that way.

When I first entered university, I used to buy and read all the textbooks assigned in my classes. But very often, I simply could not understand them. I thought it was completely my fault—that I just wasn’t smart enough. However, a few years later, I came across some mathematics books that explained things incredibly clearly, and I was deeply moved. I wondered:

“Why aren’t textbooks written like this in the first place?”

I realized that there are clearly written books and not-so-clear ones, even within mathematics. But several more years passed, and in my late thirties I had another realization. I once asked a colleague who specializes in linear algebra:

“What’s your recommended book on linear algebra?”

To my surprise, he named the book that I personally found the most difficult to understand. That was when I finally understood: what counts as a “good textbook” varies dramatically from person to person.

Mathematics has many different facets. The same theory may evoke geometric imagery for some, and more algebraic or computational imagery for others. Some people focus on the logical structure and flow of arguments. Different perspectives can reveal entirely different aspects of the same mathematics.

I am not a mathematician—I simply study mathematics as an enthusiastic amateur—but even for a foundational topic like linear algebra, I’ve learned that there are countless ways to introduce the ideas, and countless ways to present or avoid certain images.

Pure mathematicians tend to prefer concise and minimal descriptions—this is part of their aesthetic culture. But for someone like me who uses mathematics more practically, abundant imagery—especially geometric imagery—makes things much easier to understand.

What I want to say is this: Finding a good book is not easy. And the book that is easy for you to understand may be different from what others find easy. In other words, searching for books that suit you is extremely important.

At the same time, I have also benefited greatly from books recommended by others.

One memory comes to mind. When I joined a university laboratory for the first time, my supervisor, Professor Shigenori Kawahara, said he would meet each student individually. During my meeting he first asked:

“What are you interested in?”

At that time, with my limited understanding, I answered:

“I’m interested in how components that follow physical laws come together to form a living system—how lifeless parts give rise to something alive. How do molecules like proteins or metabolites assemble into something that possesses life?”

Professor Kawahara immediately said:

“Ah, so you’re interested in self-organization.”

Since I had never heard the term “self-organization,” I looked puzzled, and he half-sighed and said something like:

“If you’re interested in that, why haven’t you read anything about it?”

Looking back, he was absolutely right—my attitude as an aspiring researcher was rather immature. After that, he casually pulled out a book by Hermann Haken from his shelf and handed it to me:

The Science of Structure: Synergetics (Japanese translation: 『自然の造形と社会の秩序』)

Even though it was an old, even outdated book at the time, I still remember the excitement I felt reading it.

I suspect that, in the department I belonged to back then, there was no one else who would have immediately introduced Haken’s ideas when hearing my naive question about how lifeless matter becomes life. It was, in retrospect, an extraordinary stroke of luck.

At the heart of Haken’s philosophical framework is the slaving principle, which describes a relationship between micro- and macro-dynamics. Fast microscopic variables collectively generate macroscopic behavior, yet the macroscopic dynamics then constrain the rules governing the microscopic behavior. The whole system is determined through this mutual influence. But ultimately, the theory says that a small number of slow macroscopic modes determine the overall behavior.

Haken’s writing feels philosophical and profound, but mathematically he is essentially describing the linear approximation around a stable fixed point. By examining the spectrum of eigenvalues, one finds slowly varying directions and rapidly relaxing ones, and the dynamics quickly collapse onto a manifold spanned by the slow, nearly neutral directions. From a modern perspective this seems almost obvious.

But the true essence of what Haken argued should not be reduced to the narrow viewpoint of eigenvalues near a fixed point. Rather, he emphasized that in many dissipative and complex systems, low-dimensional behavior emerges, and this is a universal principle that allows us to perceive order in our complex world. In other words, the world has hierarchical logical structure—a separation of causal scales.

This idea is closely connected to the operating principles of modern machine learning and AI. Yoshua Bengio has long talked about representation learning and the manifold hypothesis. One way to interpret the success of modern deep learning is that real-world data effectively lie on low-dimensional manifolds within high-dimensional spaces. In that sense, Haken’s ideas about low-dimensionality and self-organization resonate strongly with contemporary machine learning.

Moreover, this idea is also connected to a more fundamental question: Why do organisms capable of intelligent information processing exist on this planet in the first place?

In his book “A Nonlinear World”, Katsutsugu Ohno writes that during the course of evolution, animals came to possess brains and began making temporal predictions about events in their surroundings because of a simple yet profound fact: it is possible to predict the behavior of an object without knowing the motion of each individual molecule that constitutes it.

In other words, this world has a hierarchical logical structure. Compared to the molecular scale, processes such as observation, inference, and prediction can be carried out entirely at a vastly more macroscopic level.

This is, in a sense, a truly astonishing fact.